• ZŠ, ZŠ+, SŠ, VŠ
  Rovnoměrný přímočarý pohyb
• SŠ, VŠ
  Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb
• SŠ, SŠ+, VŠ
  Rovnoměrný pohyb po kružnici I
• SŠ, SŠ+
  Rovnoměrný pohyb po kružnici II

• SŠ, SŠ+, VŠ
  Nepružné srážky těles
• SŠ, SŠ+, VŠ
  Pružné srážky těles

• SŠ, SŠ+, VŠ
  Matematické kyvadlo a tíhové zrychlení
• SŠ+, VŠ
  Matematické kyvadlo se zarážkou
• SŠ, SŠ+, VŠ
  Pružinový oscilátor a tuhost pružiny
• SŠ+, VŠ
  Pružinový oscilátor a spojování pružin

Rovnoměrný pohyb po kružnici II

20. 4. 2012, 1:13

15. 12. 2012, 17:26

Zdeněk Pucholt

Cíl úlohy

Ověřit vzájemnou vzdálenost dvou bodů rovnoměrně se pohybujících po kružnici.

Fyzikální princip

Jestliže se hmotný bod pohybuje rovnoměrně po kružnici o poloměru $r$, velikost jeho obvodové rychlosti je dána vztahem

\begin{equation} v=r\omega\mbox{,}\label{eq:rce1} \end{equation}

kde $\omega$ představuje velikost úhlové rychlosti. Velikost obvodové rychlosti je tedy r-násobkem úhlové rychlosti.

Uvažujme bod $A$ ve vzdálenosti $r_{\rm{A}}$ a bod $B$ ve vzdálenosti $r_{\rm{B}}$. Jestliže předpokládáme, že oba body leží na jedné přímce procházející osou otáčení a zároveň platí $r_{\rm{A}}\le r_{\rm{B}}$, pak pro vzájemnou vzdálenost dvou bodů $A$ a $B$ na základě \eqref{eq:rce1} platí

\begin{eqnarray*} v_{\rm{A}}&=&r_{\rm{A}}\omega\mbox{,}\\ v_{\rm{B}}&=&r_{\rm{B}}\omega\mbox{.} \end{eqnarray*}

Pro vzájemnou vzdálenost bodů $u$ dostáváme

\begin{equation} u=\frac{1}{\omega}(v_{\rm{B}}-v_{\rm{A}})=\frac{1}{2\pi f}(v_{\rm{B}}-v_{\rm{A}})\label{eq:rce2} \end{equation}

Videoanalýza

Nepochybně existuje řada způsobů, jak vhodně demonstrovat rovnoměrný pohyb na kružnici. Jako jedno z možných řešení se nabízí využití gramofonu. Máme-li k dispozici dva body ležící na společné přímce procházející osou otáčení, můžeme na základě znalosti frekvence (periody) určit jejich vzájemnou vzdálenost.

Pomůcky

Gramofon, kamera, barevná lepící páska, nůžky, vhodné měřidlo, software pro analýzu a zpracování videa.

Provedení

• K demonstraci rovnoměrného pohybu po kružnici je možné využít gramofon, na jehož talíř ve vhodné vzdálenosti od středu otáčení umístíme dvě značky vyrobené z konstrastní lepící pásky tak, aby jejich středy procházela spojnice jdoucí středem otáčení talíře.
• V souladu s výše uvedeným obrázkem je bod umístěný blíže k ose otáčení označen $A$, bod umístěný dále od osy otáčení $B$.
• Před samotným analyzováním je zapotřebí provést změření šířky význačného pruhu talíře gramofonu. Tuto hodnotu lze využít jako kalibrační vzdálenost ve videu, v našem případě $d=2,0\:\rm{cm}$.
• Aplikací filtrů můžeme docílit záměrného zanechávání stop pohybů bodů, lze tak ukázat závislost obvodové rychlosti na vzdálenosti od osy otáčení.
• Využitím vhodných voleb lze nastavit zobrazování vektorů okamžitých rychlostí a zrychlení. Vektory okamžité rychlosti by měly mít směr tečny a vektory dostředivého zrychlení by měly směřovat do středu trajektorie. Při porovnání velikostí příslušných vektorů u obou bodů dojdeme k obdobným závěrům jako v předchozích bodech.
  Gramofon – rovnoměrný pohyb po kružnici II.

Vyhodnocení

• Z videa je patrné, že se oba body po kruhové trajektorii pohybují rovnoměrně – stopy pohybů se pravidelně objevují, což dokazují i grafy závislostí $v(t)$ pro oba body. Z nich lze odečíst průměrné hodnoty rychlostí $v_{\rm{A}}\approx 0,08\:\rm{m\cdot s^{-1}}$ a $v_{\rm{B}}\approx 0,26\:\rm{m\cdot s^{-1}}$.
  

  Zobrazení závislostí rychlostí na čase pro oba body; nahoře – bližší bod k ose, dole – vzdálenější bod od osy.
• Dosazením nezaokrouhlených hodnot rychlostí $v_{\rm{A}}$ a $v_{\rm{B}}$ do vztahu \eqref{eq:rce2} za předpokladu znalosti frekvence otáčení gramofonu, kterou lze zjistit například z Lit(2), dostáváme pro vzájemnou vzdálenost bodů $u\approx 5,2\:\rm{cm}$. Jelikož byla před začátkem měření nastavena vzájemná vzdálenost $u_{\rm{t}}=5,0\:\rm{cm}$, je relativní chyba měření $\delta_{\rm{u}}=4\:\%$. Hodnotu relativní chyby ovlivňuje přesnost zaměřování pozic prvků ve videu, kalibrace videa a také rychlost otáčení talíře gramofonu.
• Naměřená hodnota vzájemné vzdálenosti $u$ je v souladu s rozdílem délek měřících prvků videoanalýzy, jenž jsou také ve videu zakresleny.
• Dále se nabízí možnost sestrojení grafu na základě pořízených dat z videoanalýzy, který ukazuje závislost složek rychlostí obou bodů na čase. Z něho je zřejmé, že bod $B$ má větší hodnoty amplitud u svých složek rychlosti.
  

  Zobrazení závislosti složek rychlostí obou bodů na čase.

Použitá literatura a zdroje

• BEDNAŘÍK, Milan a Miroslava ŠIROKÁ. Fyzika pro gymnázia. 4. vyd., dotisk. Praha: Prometheus, 2011, 288 s. ISBN 978-807-1963-820.
• Gramofonová deska. Wikipedie. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Gramofonová_deska.