• ZŠ, ZŠ+, SŠ, VŠ
  Rovnoměrný přímočarý pohyb
• SŠ, VŠ
  Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb
• SŠ, SŠ+, VŠ
  Rovnoměrný pohyb po kružnici I
• SŠ, SŠ+
  Rovnoměrný pohyb po kružnici II

• SŠ, SŠ+, VŠ
  Nepružné srážky těles
• SŠ, SŠ+, VŠ
  Pružné srážky těles

• SŠ, SŠ+, VŠ
  Matematické kyvadlo a tíhové zrychlení
• SŠ+, VŠ
  Matematické kyvadlo se zarážkou
• SŠ, SŠ+, VŠ
  Pružinový oscilátor a tuhost pružiny
• SŠ+, VŠ
  Pružinový oscilátor a spojování pružin

Nepružné srážky těles

17. 3. 2012, 20:21

15. 12. 2012, 17:26

Zdeněk Pucholt

Cíl úlohy

Určit rychlosti vozíků po nepružné srážce.

Fyzikální princip

Vlivem vnějších sil tělesa plynule mění svoji rychlost a směr pohybu podle pohybových zákonů. V některých případech dochází k omezení pohybu tělesa, jelikož se v jeho směru pohybu nacházejí jiná tělesa – dochází ke srážce.

Během srážky se mění směr a rychlost pohybu těles téměř skokem vlivem přítomnosti nárazových sil. V případě srážky pružných pevných těles (např. ocelové součásti) se taková srážka označuje jako rázy těles.

Pokud při srážce platí zákon zachování kinetické energie, jde o srážku pružnou, pokud neplatí, jde o srážku nepružnou. Pokud při srážce nedojde k žádnému odpružení těles a tyto se dále pohybují jako jedno těleso, jde o srážku dokonale nepružnou, při částečném odpružení jde o srážku nedokonale pružnou. Jestliže těleso narazí na nepropustnou stěnu, označujeme takovou srážku jako odraz tělesa.

Poznámka: V praxi se většinou ráz a srážka využívají jako ekvivalentní výrazy.

Dokonale nepružná srážka

Pokud máme dvě dokonale nepružné koule o hmotnostech $m_{\rm 1}$ a $m_{\rm 2}$, které se pohybují rychlostmi $v_{\rm 1}$ a $v_{\rm 2}$ čelně proti sobě, dojde ke srážce, při které se obě koule deformují a zaklesnou do sebe. Dále se pohybují jako jeden celek rychlostí $v$. Při tomto typu srážky se nezachovává kinetická energie. Její podstatná část se přeměňuje na deformační energii a na teplo, zachovává se pouze hybnost soustavy koulí.

Na základě zákona zachování hybnosti je

$$m_{\rm 1}v_{\rm 1}+m_{\rm 2}v_{\rm 2}=(m_{\rm 1}+m_{\rm 2})v\:\mbox{,}$$

z čehož pro konečnou rychlost soustavy koulí $v$ platí

\begin{equation} v=\frac{m_{\rm 1}v_{\rm 1}+m_{\rm 2}v_{\rm 2}}{m_{\rm 1}+m_{\rm 2}}\:\mbox{.}\label{eq:rce1} \end{equation}

Velikost deformační práce, kterou vykonaly nárazové síly při srážce, lze vypočítat na základě znalosti kinetických energií obou koulí před srážkou $E_{\rm {k}}$ a po srážce $E^{'}_{\rm k}$

$$E_{\rm k}=\frac{1}{2}m_{\rm 1}v^2_{\rm 1}+\frac{1}{2}m_{\rm 2}v^2_{\rm 2}\mbox{,}$$ $$E^{'}_{\rm k}=\frac{1}{2}(m_{\rm 1}+m_{\rm 2})v^{\rm 2}\mbox{.}$$

Tato práce se projeví ve změně vnitřní energie soustavy koulí. Pro deformační práci $A$ za využití \eqref{eq:rce1} platí

$$A=E_{\rm k}-E^{'}_{\rm k}=\frac{1}{2}m_{\rm 1}v^2_{\rm 1}+\frac{1}{2}m_{\rm 2}v^2_{\rm 2}-\frac{1}{2}(m_{\rm 1}+m_{\rm 2})v^2=\frac{m_{\rm 1}m_{\rm 2}}{2(m_{\rm 1}+m_{\rm 2})}(v_{\rm 1}-v_{\rm 2})^2\:\mbox{.}$$

Poznámka: V případě šikmé srážky je na rozdíl od přímé srážky zapotřebí zapsat zákon zachování hybnosti ve vektorovém tvaru $m_{\rm 1}\vec{v}_{\rm 1}+m_{\rm 2}\vec{v}_{\rm 2}=(m_{\rm 1}+m_{\rm 2})\vec{v}$.

Videoanalýza

Nepružnou srážku můžeme velmi jednoduše realizovat na vozíčkové dráze za použití dvou vozíků, na jejichž koncích jsou magnety orientované vždy nesouhlasnými póly ke druhému vozíku, což při srážce způsobí jejich přitáhnutí a pevné spojení.

Pomůcky

Vozíčková dráha s příslušenstvím, kamera, barevná lepící páska, vhodné měřidlo, software pro analýzu a zpracování videa.

Provedení

• Při realizaci je vhodné zaměřit se na vybrané situace. Uvažujme vozík s hmotností $m^{'}_{\rm 1}$, kterému je na počátku udělen krátký silový impuls, takže se dále pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem rychlostí $v_{\rm 1}$. Tento vozík narazí do dalšího vozíku o hmotnosti $m^{'}_{\rm 2}$, který je vždy v klidu, tzn. $v_{\rm 2}=0\:\rm{m\cdot s^{-1}}$. Oba vozíky se spojí za pomoci magnetu a dále se pohybují jako jeden vozík rychlostí $v$.
• Jestliže některý z vozíků zatížíme (uvažujme vždy stejná závaží), přidáme vždy dvě závaží (na každou stranu vozíku jedno). Pro vozík s hmotností $m^{'}_{\rm 1}$ bude platit \begin{equation} m_{\rm 1}=m^{'}_{\rm 1}+2nm_{\rm z}\mbox{,}\label{eq:rce2} \end{equation} kde $n$ odpovídá počtu zatížení, $m_{\rm z}$ hmotnosti jednoho závaží. Pro 2-krát zatížený vozík tak dostáváme $m_{\rm 1}=m^{'}_{\rm 1}+4m_{\rm z}$, podobně pro druhý vozík definujeme celkovou hmotnost jako \begin{equation} m_{\rm 2}=m^{'}_{\rm 2}+2nm_{\rm z}\mbox{.}\label{eq:rce3} \end{equation} V případě, že máme k dispozici dva identické vozíky, platí $m^{'}=m^{'}_{\rm 1}=m^{'}_{\rm 2}$.
• Nezatížené vozíky, stejně zatížené vozíky: Je zřejmé, že platí $m=m_{\rm 1}=m_{\rm 2}$, pak podle \eqref{eq:rce1} dostáváme pro rychlost po spojení vozíků \begin{equation} v=\frac{1}{2}v_{\rm 1}\:\mbox{,}\label{eq:rce4} \end{equation} pro deformační práci \begin{equation} A=\frac{1}{4}mv^2_{\rm 1}\:\mbox{.}\label{eq:rce5} \end{equation}
• První vozík zatížen dvěma závažími: Pro vozík o hmotnosti $m_{\rm 1}$ tedy musí na základě \eqref{eq:rce2} platit $m_{\rm 1}=m^{'}_{\rm 1}+2m_{\rm z}=m^{'}+2m_{\rm z}$, pro druhý vozík o hmotnosti $m_{\rm 2}$ platí $m_{\rm 2}=m^{'}_{\rm 2}=m^{'}$. Pro rychlost po spojení vozíků platí $$v=\frac{1}{2}\frac{(m^{'}+2m_{\rm z})v_{\rm 1}}{m^{'}+m_{\rm z}}\:\mbox{,}$$ pro deformační práci \begin{equation} A=\frac{1}{4}\frac{m^{'}v^2_{\rm 1}(m^{'}+2m_{\rm z})}{m^{'}+m_{\rm z}}\:\mbox{.}\label{eq:rce6} \end{equation}
• Druhý vozík zatížen dvěma závažími: Pro vozík o hmotnosti $m_{\rm 1}$ platí $m_{\rm 1}=m^{'}_{\rm 1}=m^{'}$, pro druhý vozík o hmotnosti $m_{\rm 2}$ tedy musí na základě \eqref{eq:rce3} platit $m_{\rm 2}=m^{'}_{\rm 2}+2m_{\rm z}=m^{'}+2m_{\rm z}$. Pro rychlost po spojení vozíků platí $$v=\frac{1}{2}\frac{m^{'}v_{\rm 1}}{m^{'}+m_{\rm z}}\:\mbox{,}$$ pro deformační práci opět \begin{equation} A=\frac{1}{4}\frac{m^{'}v^2_{\rm 1}(m^{'}+2m_{\rm z})}{m^{'}+m_{\rm z}}\:\mbox{.}\label{eq:rce7} \end{equation}
• Sestavíme vozíčkovou dráhu. Je nutné ji před začátkem měření vyvážit tak, aby se při vhánění vzduchu z kompresoru do dráhy volně položené vozíky nepohybovaly.
• Provedeme změření a zvážení kalibračního předmětu – např. pro délku a hmotnost obou vozíků platí $l=12,5\:\rm cm$, $m^{'}=90,5\:\rm g$. Délka vozíku $l$ je zakreslena i v analyzovaném videu.
• Použité závaží k zatížení vozíku má hmotnost $m_{\rm z}=49,5\:\rm g$.
• Vozíky vhodně označíme barevnou páskou – usnadní nám to realizaci videoanalýzy.
• Kameru pro snímání umístíme tak, aby byla v záběru celá vozíčková dráha. Dále provedeme vyrovnání kamery do vodorovného směru.
• Získaný výstup ze snímací kamery zpracujeme ve vhodném analyzačním softwaru.

Vyhodnocení

• Nezatížené vozíky: Podle vztahu \eqref{eq:rce4} by měla být velikost průměrné rychlosti po srážce $v$ poloviční oproti rychlosti $v_{\rm 1}$. Videoanalýzou byly změřeny rychlosti $v_{\rm 1}=0,71\:\rm{m\cdot s^{-1}}$ a $v=0,33\:\rm{m\cdot s^{-1}}$. Pro deformační práci podle \eqref{eq:rce5} dostáváme $A\approx 11\:\rm{mJ}$.
• Stejně zatížené vozíky: V tomto případě bychom měli dostat podobné výsledky jako u předchozího. Byly změřeny rychlosti $v_{\rm 1}=0,51\:\rm{m\cdot s^{-1}}$ a $v=0,25\:\rm{m\cdot s^{-1}}$. Pro deformační práci platí $A\approx 12\:\rm{mJ}$.
• První vozík zatížen dvěma závažími: Z videoanalýzy získáváme pro $v_{\rm 1}=0,54\:\rm{m\cdot s^{-1}}$ a $v=0,34\:\rm{m\cdot s^{-1}}$. Pro deformační práci podle \eqref{eq:rce6} platí $A\approx 9\:\rm{mJ}$.
• Druhý vozík zatížen dvěma závažími: Z videoanalýzy získáváme pro $v_{\rm 1}=0,80\:\rm{m\cdot s^{-1}}$ a $v=0,25\:\rm{m\cdot s^{-1}}$. Pro deformační práci podle \eqref{eq:rce7} platí $A\approx 20\:\rm{mJ}$.
• Situaci, kdy máme stejné hmotnosti vozíků můžeme přirovnat ke srážce jedoucího automobilu rychlostí $v_{\rm 1}$ a stojícího automobilu. Při srážce se deformační práce rozdělí mezi oba automobily napůl, takže tato srážka je zhruba 4x "bezpečnější" než srážka s protijedoucím automobilem jedoucím rychlostí $v_{\rm 2}=-v_{\rm 1}$ nebo srážka se stromem.
• Definujeme-li rychlostní rozdíl $\Delta v=|v_{\rm t}-v|$, kde $v_{\rm t}$ označuje teoreticky vypočtenou rychlost pohybu po srážce, $v$ skutečnou naměřenou rychlost, potom ve všech případech získáváme velmi malé hodnoty $\Delta v$ v řádech setin, které lze zanedbat.

Použitá literatura a zdroje

• BAJER, Jiří. Mechanika 2. 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého, 2004, 457 s. ISBN 80-244-0884-8.