• ZŠ, ZŠ+, SŠ, VŠ
  Rovnoměrný přímočarý pohyb
• SŠ, VŠ
  Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb
• SŠ, SŠ+, VŠ
  Rovnoměrný pohyb po kružnici I
• SŠ, SŠ+
  Rovnoměrný pohyb po kružnici II

• SŠ, SŠ+, VŠ
  Nepružné srážky těles
• SŠ, SŠ+, VŠ
  Pružné srážky těles

• SŠ, SŠ+, VŠ
  Matematické kyvadlo a tíhové zrychlení
• SŠ+, VŠ
  Matematické kyvadlo se zarážkou
• SŠ, SŠ+, VŠ
  Pružinový oscilátor a tuhost pružiny
• SŠ+, VŠ
  Pružinový oscilátor a spojování pružin

Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb

14. 3. 2012, 21:02

15. 12. 2012, 17:26

Zdeněk Pucholt

Cíl úlohy

Určit závislost dráhy na čase, rychlosti a zrychlení rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu.

Fyzikální princip

Rovnoměrný přímočarý pohyb lze v praxi sledovat velmi zřídka. Většinou se setkáváme s jiným typem pohybů – pohybů se zrychlením. Sledujeme-li například pohyb vlaku, pozorujeme, jak se rozjíždí, aby dorazil do cílové stanice, popřípadě jak brzdí, aby zastavil ve stanici pro nástup cestujících. Takové pohyby obecně zařadíme mezi pohyby se zrychlením $a$ (uvažujme pro jednoduchost pohyby přímočaré rovnoměrně zrychlené).

Během jízdy vlaku se mění nejenom velikost okamžité rychlosti $v$ (např. během příjezdu do stanice), ale i její směr (např. při průjezdu železničním obloukem).

Zobrazíme-li graficky závislost $v(t)$, nezískáme již polopřímku rovnoběžnou s osou $x$, jako v případě rovnoměrného přímočarého pohybu, ale polopřímku, jejíž sklon je určen konstantou $a$ - zrychlením. Velikost okamžité rychlosti hmotného bodu je pak při nulové počáteční rychlosti přímo úměrná času $$v=at{.}$$

V případě, kdy má hmotný bod počáteční rychlost $v_{\rm 0}$, je velikost rychlosti hmotného bodu určena jako

$$v=v_{\rm 0}\pm at{,}$$

kde $\pm$, rozlišuje rovnoměrně zrychlený $(+)$ a rovnoměrně zpomalený $(-)$ pohyb.

Pokud uvažujeme, že je rychlost pohybu lineární funkcí času, průměrná rychlost pohybu se rovná aritmetickému průměru okamžitých rychlostí na začátku a na konci uvažovaného časového intervalu. Jestliže se hmotný bod pohybuje s nenulovou počáteční rychlostí $v_{\rm 0}$ a s konstatním zrychlením $a$, je pak průměrná rychlost $v_{\rm p}=(v_{\rm 0}\pm v)/2=(v_{\rm 0}+v_{\rm 0}\pm at)/2=v_{\rm 0}\pm at/2$. Dráha, kterou hmotný bod za $t$ urazí, je

$$s=v_{\rm p}t=(v_{\rm 0}\pm \frac{1}{2}at)t=v_{\rm 0}t\pm \frac{1}{2}at^2{.}$$

Je-li počáteční dráha hmotného bodu při tomto pohybu $s_{\rm 0}$, je jeho dráha v čase $t$

$$s=s_{\rm 0}+v_{\rm 0}t\pm \frac{1}{2}at^2{.}$$

Jestliže uvažujeme zjednodušený případ, kdy se hmotný bod pohybuje s nulovou počáteční rychlostí $v_{\rm 0}$ a nulovou počáteční dráhou $s_{\rm 0}$, dostaneme známý vztah

$$s=\frac{1}{2}at^2{,}$$

jehož průběh je v grafu $s(t)$ znázorněn částí paraboly.

Poznámka: Se zrychleným pohybem se setkáváme také v dynamice, konkrétně u II. Newtonova pohybového zákona, v němž Newton vyjádřil vztah mezi výslednicí sil $\vec{F}$ působících na hmotný bod a zrychlením $\vec{a}$ hmotného bodu, tedy $\vec{F}=m\vec{a}$.

Videoanalýza

Dle II. Newtonova pohybového zákona víme, že se těleso pohybuje se stálým zrychlením $\vec{a}$, pokud na něj neustále působí stejná výsledná síla $\vec{F}$. Využitím vozíčkové dráhy a jejího příslušenství lze velmi snadno takový pohyb realizovat.

Pomůcky

Vozíčková dráha s příslušenstvím, kamera, barevná lepící páska, vhodné měřidlo, software pro analýzu a zpracování videa.

Provedení

• Při realizaci je vhodné působit na vozík stálou silou, proto jej propojíme lankem přes kladku se zavěšeným závažím.

Nákres sestavení vozíčkové dráhy a zakreslení sil působících na tělesa.
• Můžeme vektorově zapsat pohybové rovnice pro obě tělesa \begin{eqnarray} \vec{N}+\vec{F}_{\rm {G1}}+\vec{F}_{\rm t}&=&m_{\rm 1}\vec{a}{,}\label{eq:rce1}\\ \vec{F}_{\rm {G2}}+\vec{F}_{\rm t}&=&m_{\rm 2}\vec{a}{,}\label{eq:rce2} \end{eqnarray} kde $\vec{N}$ označuje sílu, kterou působí dráha na vozík, $\vec{F}_{\rm {G1}}$ a $\vec{F}_{\rm {G2}}$ tíhové síly obou těles. Na základě III. Newtonova zákona můžeme říci, že velikost tahové síly $\vec{F}_{\rm {t}}$ je u obou těles stejně velká. Totéž platí pro zrychlení obou těles, tedy $$|\vec{a}_{\rm 1}|=|\vec{a}_{\rm 2}|=|\vec{a}|{.}$$ Zvolením vhodné souřadné soustavy lze rovnice \eqref{eq:rce1} a \eqref{eq:rce2} zapsat skalárně \begin{eqnarray} F_{\rm t}&=&m_{\rm 1}a {,}\label{eq:rce3}\\ F_{\rm {G2}}-F_{\rm t}&=&m_{\rm 2}a {.}\label{eq:rce4} \end{eqnarray} Dosazením \eqref{eq:rce3} do \eqref{eq:rce4} dostáváme vztah pro velikost zrychlení celé soustavy \begin{equation} a=\frac{F_{\rm {G2}}}{m_{\rm 1}+m_{\rm 2}}\:\mbox{.}\label{eq:rce5} \end{equation} Jestliže zatížíme vozík $n$-krát (uvažujme vždy sudý počet přidávaných závaží – na každou stranu vozíku jedno, kde každé závaží má hmotnost $m_{\rm z}$), můžeme vztah \eqref{eq:rce5} přepsat na tvar \begin{equation} a=\frac{F_{\rm {G2}}}{m_{\rm 1}+2nm_{\rm z}+m_{\rm 2}}\:\mbox{.}\label{eq:rce6} \end{equation}
• Sestavíme vozíčkovou dráhu. Je nutné ji před začátkem měření vyvážit tak, aby se při vhánění vzduchu z kompresoru do dráhy volně položené vozíky nepohybovaly.
• Provedeme změření a zvážení kalibračního předmětu – např. pro délku a hmotnost vozíku platí $l_{\rm 1}=12,5\:\rm cm$, $m_{\rm 1}=90,5\:\rm g$. Délka vozíku $l_{\rm 1}$ je zakreslena i v analyzovaném videu.
• Použité zavěšené závaží má hmotnost $m_{\rm 2}=5\:\rm g$.
• Použité závaží k zatížení vozíku má hmotnost $m_{\rm z}=49,5\:\rm g$.
• Vozík vhodně označíme barevnou páskou – usnadní nám to realizaci videoanalýzy.
• Kameru pro snímání umístíme tak, aby byla v záběru celá vozíčková dráha. Dále provedeme vyrovnání kamery do vodorovného směru.
• Získaný výstup ze snímací kamery zpracujeme ve vhodném analyzačním softwaru.

Vyhodnocení

• Pro nezatížený vozík lze teoreticky podle \eqref{eq:rce5} stanovit velikost zrychlení $a_{\rm {t0}}=0,51\:\rm{m\cdot s^{-2}}$ pro $g=9,81\:\rm{m\cdot s^{-2}}$. Provedenou videoanalýzou je možné stanovit hodnotu průměrného zrychlení pro nezatížený vozík $a_{\rm {0}}=0,37\:\rm{m\cdot s^{-2}}$.
• Pro 1-krát zatížený vozík lze teoreticky podle \eqref{eq:rce6} stanovit velikost zrychlení $a_{\rm {t}}=0,26\:\rm{m\cdot s^{-2}}$ pro $g=9,81\:\rm{m\cdot s^{-2}}$. Provedenou videoanalýzou je možné stanovit hodnotu průměrného zrychlení pro 1-krát zatížený vozík $a=0,24\:\rm{m\cdot s^{-2}}$.
• Je patrné, že přesnější měření proběhlo v případě zatíženého vozíku, který má větší setrvačnost.
• Přesnost měření je závislá i na dalších parametrech (tření v kladce, odporové síly působící na vozík, přesnost zaměřování vybraného bodu v aktuálním snímku).
• Lze tedy říci, že při stejně velké působící síle $\vec{F}$ je zrychlení $a\sim\frac{1}{m}$.
• Výstupem videoanalýzy jsou i grafy zobrazující $x(t)$, $v(t)$ a $a(t)$. Získáváme tak charakteristické průběhy fyzikálních veličin pro tento typ pohybu.

Pohyb nezatíženého vozíku. Nahoře vlevo – graf zobrazující závislost rychlosti na čase, nahoře vpravo – graf zobrazující závislost zrychlení na čase, dole – graf zobrazující závislost dráhy na čase.

Poznámka: Při provádění tototo experimentu je tedy vhodné zatížit vozík závažím, aby se zvýšila jeho setrvačnost. V případě zpracovávání dat je třeba z tohoto souboru vynechat ta data, která se evidentně liší od ostatních (záporné hodnoty, abnormálně vysoké hodnoty).

Použitá literatura a zdroje

• BEDNAŘÍK, Milan a Miroslava ŠIROKÁ. Fyzika pro gymnázia. 4. vyd., dotisk. Praha: Prometheus, 2011, 288 s. ISBN 978-807-1963-820.